bilim-dersimiz
  Birleşme Özelliki
 

Birleşme, bir küme üzerine tanımlanmış ikili işlemlerin ayırt edici özelliklerinden biridir. Bu özelliği sağlayan ikili işlemlere birleşmeli işlem denir. Açık olarak bu özellik, (xy)z = x(yz) demektedir, yani üç elemanı "çarparken" işlem sırasının önemli olmadığını söylemektedir, bir başka deyişle birleşme özelliği işlem yaparken paranteze gerek olmadığını söylemektedir. Örneğin tamsayılar kümesi Z üzerine tanımlanmış olan toplama işlemi birleşmeli bir işlemdir ancak çıkarma işlemi birleşmeli değildir, çünkü (x + y) + z = x + (y + z) eşitliği her x,, y,, z için sağlanmasına karşın, (x − y) − z = x − (y − z) eşitliği z neq 0 için sağlanmaz.

Üç x,,y,,z elemanı için geçerli olan bu özellik elbet n tane eleman için de geçerlidir. Örneğin (xy)(zt) = ((xy)z)t = (x(yz))t = x(y(zt)).

starX kümesi üzerine bir ikili işlem ise ve her x,, y, z in X için (xstar y)star z = x star (y star z) ise, star ikili işleminin birleşmeli işlemolduğu söylenir. Toplama, çarpma gibi cebirde rastlanan işlemlerin birçoğu birleşme özelliğini sağlar. Ancak çıkarma işlemi (tamsayılar kümesi üzerinde) birleşmeli işlem değildir çünkü x − (y − z) sayısı eğer z, 0'a eşit değilse (x − y) − z'ye eşit değildir.

Birleşme özelliği sağlayan yapılarda işlemler yapılırken parantez gerekmez. Bu yüzden (xstar y)star z ve x star (y star z) yerine, xstar y star zyazılır. Aynı şey dört eleman çarpılırken de geçerlidir: Birleşme özelliğini sağlayan bir işlem sözkonusu olduğunda, (xstar y)star (zstar t)(xstar (ystar z))star txstar ((ystar z))star t), gibi çarpımlar parantezsiz olarak xstar ystar zstar t olarak yazılır.

Birleşme özelliğini sağlamayan yapılarda x3 elemanını tanımlamak bile sorun olabilir, nitekim bu eleman xstar (xstar x) olarak tanımlanabileceği gibi (xstar x)star x olarak da tanımlanabilir. x4 için çok daha fazla seçenek olabilir.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşme işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(XX), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer f,, gin  Fonk(XX) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her xin X için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(XX) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır.

Cebirde ender olsa da birleşme özelliğini sağlamayan işlemler önemli olabilir. Örneğin Lie cebirlerindeki köşeli parantez işlemi birleşmeli değildir. Öte yandan Lie cebirlerinde köşeli parantez işlemi, Jacobi eşitliği sayesinde, birazcık olsun birleşme özelliğini sağlar.

Kümelerde Birleşim İşareti [değiştir]

kümelerde birleşme işareti "U" şekilindedir.İki ya da daha çok kümenin elemanlarını bir araya getirme işlemidir. A ve B iki küme ise bu iki kümenin birleşimi A U B şeklinde gösterilir

örneğin: A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 3, a, b } ise A U B kümesini şema ile gösterip tarayalım.

Örnekler [değiştir]

a times (b times c) neq (a times b) times c
a cdot (b times c) = (a times b) cdot c.

Birleşmesiz [değiştir]

S deki * ikili işlemi, birleşme yasasına uymuyorsa buna birleşmesiz (İngilizcesi non-associative) diyoruz. Sembolik olarak,

mbox{Bazı } x,y,zin S mbox { için, } (x*y)*zne x*(y*z)qquad.

Değerlendirme sırası işlemi için sorun değildir. Örneğin:


    (5-3)-2ne 5-(3-2)
  • Bölme

    (4/2)/2ne 4/(2/2)

    2^{(1^2)}ne (2^1)^2

Sonlu toplamanın genellikle ilişkili olmadığına dikkat edin. Örneğin:


    (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+dots=0

Benzer şekilde


    1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+dots=1





Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsmin:
E-mail adresin:
Siten:
Mesajınız:

 
  Bugune kadar 28499 ziyaretçi (55799 klik) kişi bu siteye ziyaret etti. 2011 Bütün hakkı saklıdır .  
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=